FPGA 数字处理基础 (1)

数字处理基础

数字处理基础主要包括两个方面：

• 数的表示
• 常用算术运算的实现

下面分别讨论。

数的表示

这部分讨论对于计算机 (PC)、数字信号处理器件 (DSP)、数字芯片 ( 包括 FPGA) 都是成立的。

人类如何计数

最早我们的祖先采用的是结绳计数，经过几千年的发展，现在我们使用的 10 进制位置计数法 。那么我们为什么偏偏选择 10 这个数字呢？

大名鼎鼎的 Charles Petzold 在他的著作 code 中分析了我们的计数进制现象 。原因其实很简单，10 这个数字对于我们如此特别只是因为我们有 10 个手指 ( 脚趾 )，于是我们采用了 10 进制，并且逐渐习惯了它 。他在书中模拟了一下进制系统的演化过程，让我们逐渐从人类的 10 进制思维逐渐转化到计算机的 2 进制系统中：

假设我们是卡通动画中的人物，比如米老鼠 Mickey，仔细观察它就会发现，他的每个手只有 4 个手指，理所当然，他采用 8 进制来计数。如果更进一步，假设我们是龙虾，那么我们的每一只钳子上有两个 “ 手指 ”，一共有 4 个手指，所以，我们会采取 4 进制计数系统。最后，假设我们是海豚，那么我们只有两个鳍来计数了，这时候的计数系统就是 2 进制数字系统了。

r 进制 to 10 进制

只需要按权值展开就可以了，比如：

2 进制数 110101 对应的 10 进制数为 32 + 16 + 4 + 1 = 53

8 进制数 B65F 对应的 10 进制数为 11 × 16^3 + 6 × 16^2 + 5 × 16 + 15 × 1 = 46687

10 进制 to r 进制

整数部分：基数连除，逆序取余

小数部分：基数连乘，顺序取余

计算机如何计数

正数 & 负数

人类和计算机的计数原理是完全不同的，所以采用的方法也是完全不同的。对于人来说，区分正负数只需要在数字绝对值前添加一个符号 + 或者 - 即可，但是计算机只有 0 和 1 这两个符号可以使用；对于人来说，减法借位很容易，但是对于计算机硬件电路来说这是一件很麻烦的事。

常用的表示方法有 3 种：原码、反码、补码 。对于计算机而言，硬件上最容易实现的是补码，这也是大多数计算机采用补码系统的原因 。

以前总结过一篇博客，原码、反码、补码。

整数 & 小数

1. 整数

   对于整数而言，不存在小数点的问题，所以自然地将我们人类所熟悉的 10 进制数转化为计算机熟悉的 2 进制数，分配足够的空间存储起来就 ok 。

2. 小数

   在计算机中，整数和小数之间并不是很容易转换，而且小数的存储和处理要比整数复杂。对于小数可以有两种方法来表示：定点数 & 浮点数

   定点数的意思是小数点在数中的位置是固定不变的。整数可以看作是一种特殊的定点数，小数点在数的末尾。值得注意的是小数点的位置信息并没有和数字存储在一起，所以，使用定点数的程序必须知道小数点的位置。

   浮点数的意思是小数点在数中的位置是变化的。当代大部分计算机处理浮点数的标准是 IEEE 在 1985 年制定的 ANSI/IEEE Std 754-1985 。

   在计算机出现不久的年代，计算机处理浮点数是一件很重要但也让人头疼的事。最早，还没有专门处理浮点数的硬件，所以程序猿必须编写软件来完成浮点数的计算。浮点数在科学运算和工程类程序中极为重要，因此常常被赋予很高的优先级，在计算机发展的早期，为新制造的计算机做的第一项工作就是为其编写浮点数运算程序。

   如果可以直接利用计算机机器码指令来实现浮点数的计算，类似于 16 位处理器上进行乘法和除法运输，那么这台机器上所有的浮点数运算都会变得更快。IBM 公司在 1954 年发布了 IBM 704，它是第一台将浮点数运算硬件作为可选配件的商用计算机。该机器的浮点运算硬件可以直接进行加法、减法、乘法和除法，其他的浮点运算必须通过软件来实现。

   从 1980 年开始，浮点运算硬件开始应用于桌面计算机，这起始于 Intel 当年发布的 8087 数字协同处理 (Numberic Data Coprocessor) 芯片，当时这种集成电路被称为 数学协同处理器 (math coprocessor) 或者 浮点运算单元 (floating-point,FPU)。8087 不能独立工作，必须和 8086 或者 8088 一起工作，所以被称为 “协处理器”。

   在最初版本的 IBM PC 主板上，位于 8080 芯片的右边有一个 40 个管脚的插槽供 8087 芯片接入，但是，这个插槽是空的，如果用户需要浮点运算则必须单独购买一块 8087 芯片。数字协处理器并不能加速所有的程序的运行速度，比如文字处理程序几乎用不到浮点运算，而电子表格处理程序对浮点数运算依赖程度很高。

   安装了数学协处理器，程序员必须使用协处理器的机器码指令来编写特定的程序，因为数学协处理器不是标准硬件。最后就出现了这样的局面：如果机器上安装了数学协处理器，程序员就要学会编写相应的应用程序以支持它的运行；如果没有安装，程序员必须通过编程来模拟它进行浮点数的运算。

   在 1989 年发布的 486DX 芯片中，FPU 已经内建在 CPU 的结构里，但是在 1991 年发布的 486SX 中，又没有内建 FPU，到了 1993 年发布的奔腾芯片中，CPU 内置 FPU 再次成为标准，并且是永远的标准。在 1990 年发布的 68040 芯片中，摩托罗拉首次将 FPU 集成到 CPU 中，在此之前是使用 68881 和 68882 数学协处理器来支持 68000 家族的微处理器。PowerPC 芯片同样使用了内置 FPU 的技术。

   FPGA 不同于微处理器，它内部没有内置 FPU( 不包括硬核 )，对于 FPGA，浮点数可以克服定点数动态范围小的缺点，但是在运算时，实现浮点数的硬件实时成本高，处理速度慢，所以在非实时运算中有广泛的应用。对于通信系统中的信号，一般都是实时处理的，所以在 FPGA 开发中，一般只使用定点数 。

常用算术运算的 FPGA 实现

加法

在 Verilog HDL 中，直接使用运算符 +，其本质上是一种并行加法器，应该保证两边的数位宽是一致的。举个栗子

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module add_4 (x, y, C);

    input   [3:0]   x;
    input   [3:0]   y;
    output  [3:0]   sum;
    output          C;

    assign {C, sum} = x + y;

endmodule

乘法

第一种方法，最简单，直接使用运算符 *，如下所示 。但是这种方法写出来的代码效率很低，甚至有时候是不可综合的，实际应用中基本不会采用这种方法。

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assign p = x * y;

第二种方法是自己写代码实现乘法运算，或者是使用 IP COre。一般 FPGA 中都集成了硬核的乘法器，所以可以有两种方案来实现乘法器，DSP48 硬核 或者是 Slice 搭建 。

除法

除法是四则基本运算中最复杂的，也是最难实现的。除法可以看作是乘法的逆运算，但除法要复杂的多，最大的区别是乘法中的一些操作可以并行支持，通过流水线提高计算速度，但是除法必须顺序执行，运算最耗时间。

Verilog 提供了除法运算符 /，如下所示。但是只有在除数为 2 或者 2 的整幂次时才是可综合的，其余情况都不可综合 。

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q <= a/b;

常用的方法是采用 IP Core，可以完成定点数和浮点数两类算法。

Cordic 算法

Cordic 算法 算法即坐标旋转数字计算方法，是 J.D.Volder1 于 1959 年首次提出，主要用于三角函数、双曲线、指数、对数的计算。该算法通过基本的加和移位运算代替乘法运算，使得矢量的旋转和定向的计算不再需要三角函数、乘法、开方、反三角、指数等函数。

它通常应用在没有硬件乘法器的应用中，比如微控制器、FPGA 中，cordic 进行的所有操作只有加法、移位和查表 。

Coridc 算法可以自己编写代码实现，也可以使用 IP Core 。

参考

《无线通信的 Matlab 和 FPGA 实现》

code