数字信号处理中的各种频率

Posted on 2015-08-27 22:06 in Telecom

最近实习的时候，发现自己的 DSP 基本功还是不够扎实，关于模拟 / 数字角频率，频率，采样速率等一些概念理解的都不太深刻，愧对老师和这么多年的学习，Google 到一些讲解的比较清楚的 blog，备忘（抄袭）过来，温故而知新。

unit circle & sin(cos)

首先从最基本的三角函数的定义开始：

三角函数的定义方式有很多种，我觉得基于单位圆的定义是最形象，对之后理解各种角频率的物理 / 数学含义最有帮助。

我们应该是在初中的时候第一次接触到三角函数，那时候三角函数的定义是直接给个三角形，然后直接定义 sin(cos) 为哪条边比哪条边的值，然后给出 sin(cos) 的波形如下图所示：

"Sine cosine one period" by Geek3 - Own work. Licensed under CC BY 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine-cosine-one-period.svg#/media/File:Sine-cosine-one-period.svg

当我们将这个三角形和单位圆联系在一起的时候，sin(cos) 的几何意义就很明显了：

"Circle-trig6" by This is a vector graphic version of Image:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GFDL. Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia under GFDL by Steven G. Johnson. - This is a vector graphic version of Image:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GFDL. ; Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia under GFDL by Steven G. Johnson.. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle-trig6.svg#/media/File:Circle-trig6.svg

图中红色的线段长度就是 sin 的值，蓝色的线段长度就是 cos 的值，如果我们假设坐标系的原点和单位圆重合，脑补一下下面的场景：有个小球（只能）沿着单位圆的圆周做运动。这时候，我们就会发现一个事实：

sin(t) 是小球 t 时刻在 y 轴上的投影，cos(t) 是小球 t 时刻在 x 轴上的投影。

进一步，当小球的运动速率是匀速率的时候，就有了上面提到的波形，更加形象的图如下：

enter image description here

"Circle cos sin" by LucasVB - Own work. Licensed under Public Domain via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle-cos-sin.gif#/media/File:Circle-cos-sin.gif

P.S. 关于投影，wiki 上有个解释欧拉公式的图特别好：

"Sine and Cosine fundamental relationship to Circle (and Helix)" by Tdadamemd - Own work by uploader (.gif frames created in Powerpoint). Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine-and-Cosine-fundamental-relationship-to-Circle-(and-Helix).gif#/media/File:Sine-and-Cosine-fundamental-relationship-to-Circle-(and-Helix).gif

有了上面简单的背景，就可以开始逐个讨论信号处理中的概念了。

Ω

我们已经知道小球在圆周上做匀速率的圆周运动时，它在两个坐标轴上的投影就分别是 sin(cos)，如果我们想进一步描述小球的运动速率的快慢呢？

假设小球完整转一圈所花费的时间为 T，转动的角度为 2π，则我们可以定义

模拟角频率 Ω = 2π/T，单位是 rad / s

来描述小球的转动速率的快慢。

当 t = 2π 时，y = sin(Ω2π)，这时候可以看出 Ω 的物理含义：在 2π 的时间内，小球所完成的圈数。*

下面的 Matlab 小程序演示了 2π 时间内 Ω 和周期的对应关系：

t = 0: pi/50: 2*pi;
for OMEGA = 1:4
    y(:,OMEGA) = sin(OMEGA*t);
    str{OMEGA} = ['OMEGA=', num2str(OMEGA)];
end
h = plot(t, y); grid on;
xlabel('t / s'); ylabel('amp'); title('y = sin(OMEGA*t)');
legend(h, str);

结果如下图：

OMEGA

f

小球在二维平面上的圆周运动投影到一维的坐标轴 x(y) 轴上看，则是左右（上下）振动。和 Ω 类似，我们也可以定义一个物理量来描述这种振动的快慢：

小球完成一次完整的圆周运动所花费的时间为 T，也就是完成一次振动花费了 T 时间，我们定义

频率 f = 1 / T，单位是 Hz

来描述振动的快慢。由前面 Ω 的定义式可知，Ω = 2π * f，有 y = sin(2π * f * t)。

当 t = 1s 时，y = sin(2π * f)，这时候可以看出 f 的物理意义：在 1s 的时间内，小球所完成的振动次数。

下面的 Matlab 小程序演示了 1s 时间内 f 和振动周期的对应关系：

t = 0: 1/100: 1;
for f = 1:4
    y(:,f) = sin(2*pi*f*t);
    str{f} = ['f=', num2str(f)];
end
h = plot(t,y); grid on;
xlabel('t / s'); ylabel('amp'); title('y = sin(2*pi*f*t)');
legend(h, str);

结果如下图：

w

计算机的世界是离散的，所以当连续信号经过采样、量化得到离散信号后：

y = sin(Ωt) = sin(ΩnTs) = sin(ΩTsn) = sin(wn)

从数学上我们就可以得到：

数字角频率 w = Ω*Ts = Ω / Fs，单位是 rad

可以看到，w 是用采样频率 Fs 对 Ω 进行归一化得到的，所以 w 准确地应该叫做归一化数字角频率。

连接模拟和数字的桥梁就是采样频率 Fs，由计算过程可以知道，w 相同的两个信号，它们的 Ω 不一定相同。因为丢失了 Fs 信息，所以单独讨论 w 是没有意义的。

虽然单独讨论 w 是没有意义的，但是这不代表 w 没有物理意义，当小球的振动频率为 f 时，每秒在圆周上转过的角度为 Ω = 2π * f，而采样频率为 Fs 就是说每秒钟对小球进行 Fs 次采样（拍照），显然有 Fs 个样值（照片）。这些样值（照片）是均匀分布的，所以每两个样值点之间的弧度为 2π * f / Fs = w，这也就是 w 的物理含义：相邻两个样值点之间的弧度数。

================================== summary ====================================

这几个频率之间是线性关系，可以得到下面的对应关系：