数字信号处理和相关matlab函数总结

Posted on 2014-09-03 23:16 in Telecom

学了这么多年的通信，却还是对信号处理的知识一知半解，应付考试还可以，但在实际应用中还是感到力不从心，很多知识都忘了。翻了一下午的《信号与系统》、《数字信号处理》，简单总结一下。

《信号与系统》算是通信专业最基础的专业课了。

信号部分主要介绍信号的相关定义、分类、常用信号和三大变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换和 z 变换。

系统部分主要从时域和频域使用不同的方法分析线性时不变系统（LTI）的性质。

《数字信号处理》算是前一门课的深入，现在利用计算机处理信号，首先就是要将模拟信号数字化，然后进行处理。这门课也就是讲相关的知识。

一般教材就讲两大部分：第一部分首先承接《信号与系统》，时域的连续信号要在计算机中处理就必须采样，变为时域离散信号，这部分就讲离散时间信号的处理，比如 z 变换和离散傅立叶变换。第二部分讲数字滤波器的设计，包括 FIR 和 IIR 两种。

Signal Processing

这部分是我串联的这两本书中很小的一部分知识，算是一个备忘的笔记吧，作为一名学渣，一个月不看也会忘记不少 =.=

从《信号与系统》中我们可以知道：

周期信号（连续）傅立叶级数（CFS）

首先，由高数知识可以知道：只要满足 Dirichlet 条件，周期信号就可以进行傅立叶级数分解，可以得到幅度频谱和相位频谱。

时域信号是周期的、连续的，频域信号是离散的。

非周期信号（连续）傅立叶变换（CFT)

周期信号的周期无限增大，就可以将周期信号转化为非周期信号，从而得到非周期信号的傅立叶变换。

得到的频率域的结果为连续信号，计算结果为时域信号的频谱密度函数，简称频谱函数。

周期信号（连续）傅立叶变换（CFT)

对于周期信号，因为它不满足绝对可积的条件，所以从非周期信号无法直接推广。但是借助 奇异函数（如冲激函数）的概念，可以使许多不满足绝对可积的信号（如周期信号）存在傅立叶变换。

周期信号的傅立叶变换结果由一些冲激函数组成，冲激函数的强度是对应的傅立叶级数的 2pi 倍，频谱是离散的。

这样，周期信号和非周期信号的傅立叶分析得到了统一。

接下来，就要进入《数字信号处理》部分了：

离散时间信号傅立叶变换（DTFT)

时域连续信号经过采样，得到离散时间信号，对于离散时间信号，可以从 z 变换中引出 DTFT 的定义。

DTFT 是一种特殊的傅立叶变换（FT），它满足所有的傅立叶变换的性质。

离散傅立叶变换（DFT）

虽然 DTFT 解决了信号在时域的连续问题，但是变换结果仍然是连续信号，也就是说在频域仍然是连续的，这样计算机仍然是无法处理的。所以，就引出了离散傅立叶级数（DFS) 和离散傅立叶变换（DFT）。

时域信号的周期性对应着频域的离散化，而且时域信号的离散化对应着频域的周期性。由这两点，可以知道周期的离散信号具有离散的、周期的频谱，也就是离散傅立叶级数（DFS）。

把时域和频域的数据长度都限定在主周期，那么就得到了标准的离散傅立叶变换（DFT）。

经过分析，可以知道，DFT 是 z 变换的取样，也是 DTFT 的取样结果。

DFT 因为是离散的，长度有限，所以很适合计算机计算，而且人们发明了高效地计算 DFT 的方法 —— FFT 。

知乎上还有一篇专栏的文章，得到了非常多人的赞同，可以进一步参考。

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于 2014.06.06

Matlab

basic

分析各种变化，可以得到以下的关系：

N 点的 DFT（FFT），其结果对应的

数字角频率 w 为 [0, 2pi)

模拟角频率 Ω 为 [0, Ωs)

模拟频率 f 为 [0, fs)

所以对于 N 点 FFT 的结果，对应的横坐标频率的范围为 [0, fs)。

matlab 提供了函数 fft 和 fftshift 直接完成变换。

adv

我们在对一个信号进行采样分析时，首先需要确定两个参数：参数有采样频率 Fs，采样点数 N，这两个因素决定了之后可以得到的时频域效果。

假设我们的采样频率为 Fs （采样周期为 T = 1/Fs），一共采了 N 个点，那么相当于对信号进行了截断，截断长度为 L = N * T 秒。这 3 个参数就决定了我们的最终结果。

在信号处理中存在下面的 3 个问题：

频谱混叠。如果信号不是带限的，那么为了减小频谱混叠的影响，我们应该尽可能提高采样频率 Fs，而且 Fs 越大，时频域分辨率也越高。
频率分辨率和栅栏效应。因为 DFT 是 DTFT 的等间隔采样，那么 N 越大，采样点数越多，栅栏就越小。为了提高频率分辨率 f0 = Fs/N，我们应该尽可能增大 N，而且为了提高计算效率，N 等于 2 的 M 次方）。
截断效应和频谱泄漏。如果信号是无限长的，那么必须把它截断到长度 L = N*T = N/Fs。截断会带来吉布斯效应，并且引入窗函数的频谱，造成频谱泄漏。应该使得 L 包含信号的绝大部分。

下面举例说明非周期信号和周期信号的分析：

非周期信号

假设我们要分析 tau = 1 的矩形窗函数，我们知道它的频谱，且取第一零点 1/tau = 1 为最高频，假设 8 倍采样，即 Fs = 8 Hz，假设频谱分辨率小于 0.1 Hz 即达到需求，则可以得到 N = 128，此时验证 L = 16 满足条件。由 tau 和 Fs 得到采样点包含 8 个 1 和 120 个 0，所以：

Fs = 8;
N = 128;
x = [ones(1, 8), zeors(1, 120)];
X = abs(fftshift(fft(x)));
f = [0:N-1]*Fs/N - Fs/2;
plot(f, X); grid on;
xlabel('f / Hz'); ylabel('Amplitude Response');
title('tau = 1 rectangle window');

结果如下图：

rect

周期信号

假设信号为 x = 1 + 1/2cos(2pi15t) + 2sin(2pi40t)，包含一个直流分量和 f1 = 15, f2 = 40 Hz 的分量，fm = f2 = 40 Hz，若 8 倍采样，有 Fs = fm*8，若 fdelta < 0.1 hz，有 N = 4096，所以：

f1 = 15;
f2 = 40;
Fs = f2*8;
w1 = 2*pi*f1/Fs;
w2 = 2*pi*f2/Fs;
n = 0 : N -1;
x = 1 + 1/2*cos(w1*n) + 2*sin(w2*n);
X = abs(fftshift(fft(x)));
f = [0:N-1]*Fs/N - Fs/2;
plot(f, X); grid on
xlabel('f / Hz'); ylabel('Amplitude Response');
title('x = 1 + 1/2*cos(w1*n) + 2*sin(w2*n)');

结果如下：

period

综上，我们就有分析一个信号的通用步骤：

首先确定 Fs：信号的频率信息对于我们是未知的，我们最多只知道信号的带宽，根据信号带宽，我们就可以确定一个采样率 Fs，比如 8 倍采样
确定了 Fs，实际上的 w 就已经确定了，只是我们是不知道它的具体值（因为不知道 fm）
下一步应该确定 N：由公式 1 和公式 2 可以推出 N = Fs/fm*k。当 Fs 最小为奈奎斯特采样速率，k = 1 时，N 取到最小值 2，这种情况下虽然没有混叠，但是 fdelta 太大了，不利于观察频谱，应该由 fdelta = Fs/N 决定 N 的最小值

====================================== 补充一下 FFT 补零 ========================================

验证程序：假设一个 sin 信号，f = 125， 8 倍采样有 Fs = 1000，